Matrici di permutazione

• Matrici di permutazioni elementari
  • Proprietà

Matrici di permutazioni elementari

Lo scambio di due righe o colonne può essere come prodotto matriciale tramite matrici di permutazione elementari.

$P_{ij}$ è quindi la matrice ottenuta scambiando la riga i e la riga j della matrice Identità.

• La matrice $P_{ij}A$ si ottiene scambiando le righe i e j della matrice A.
• La matrice $A{P}_{ij}$ si ottiene scambiando le colonne i e j della matrice A.

Proprietà

• Sono matrici non singolari, quindi il determinante è diverso da 0, $det(P_{ij})=-det(I)=-1$
• Sono matrici simmetriche $P_{ij}=P_{ij}^T$
• Sono matrici ortogonali $P_{ij}{P}_{ij}^T=P_{ij}{P}_{ij}=I$

Matrici di permutazione

Un prodotto di matrici di permutazioni elementari è chiamato matrice di permutazione.

$$P=P_{ij}{P}_{hd}...P_{uv}$$

La matrice di permutazione P è ortogonale perchè prodotto di matrici ortogonali.