Matrici inverse

Una matrice quadrata di ordine $n$ si dice invertibile o non singolare se esiste una matrice $X\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ tale che $AX=XA=I$

La matrice $X$ è la matrice inversa di $A$ e si indica come $X=A^{-1}$.

Attenzione

Una matrice è non singolare se e solo se il suo determinante è $det(A)\ne 0$. Gli autovalori devono quindi essere non nulli.

Proprietà

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T=A^{-T}$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$, ovvero se $A$ e $B$ sono invertibili, lo è anche $AB$

Esempio

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right),A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& -\frac{3}{5}\\ -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right)$$

Per trovare la matrice inversa, si aumenta la matrice con la matrice identità

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}2& 3& |& 1& 0\\ 1& 4& |& 0& 1\end{array}\right)$$

Successivamente si utilizza la fattorizzazione di Gauss per far diventare la parte sinistra la matrice identità. Si arriva quindi ad una matrice come segue, con la matrice inversa nella parte destra.

$$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& |& \frac{4}{5}& -\frac{3}{5}\\ 0& 1& |& -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right)$$

Matrici diagonali

Per matrici diagonali, invece, si ha che la matrice inversa è $\frac{1}{u_{ii}}$.