Operazioni matriciali

• Somma matriciale
• Moltiplicazione per uno scalare
• Prodotto matriciale
• Prodotto matrice-vettore
• Prodotto scalare tra due vettori

Operazioni con le matrici.

Somma matriciale

Date due matrici di uguale dimensione $A,B\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$, la somma $A+B$ restituisce una matrice $C\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ di uguali dimensioni, i cui elementi sono la somma elemento per elemento tra $A$ e $B$.

$$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$

La complessità computazionale equivale a $mn$ somme floating point.

Moltiplicazione per uno scalare

Data una matrice $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ e un numero reale $\lambda$, il prodotto $\lambda A$ restituisce una matrice $C\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ di uguali dimensioni, i cui elementi sono il prodotto elemento per $\lambda$. $c_{ij}=\lambda a_{ij}$

La complessità computazionale equivale a $mn$ prodotti floating point.

Prodotto matriciale

Date due matrici $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ e $B\in {\mathbb{R}}^{n\times p}$, si definisce prodotto matriciale $AB$ la matrice $C\in {\mathbb{R}}^{m\times p}$, i cui elementi sono definiti come

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj},i=1,...,m;j=1,...,p$$

La complessità computazionale equivale a $mnp$, dal momento che si hanno $n$ somme e prodotti, e gli elementi sono $mp$. Se la matrice è quadrata, la complessità è di $n^3$.

Per il prodotto matriciale valgono le proprietà associativa e distributiva rispetto alla somma matriciale.

Attenzione!

Non vale la proprietà commutativa, nemmeno se le matrici sono quadrate.

L’elemento neutro del prodotto matriciale è la matrice identità. $A{I}_n=I_{m}A$

La trasposta di un prodotto è la trasposta delle due matrici, invertite di ordine: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

Prodotto matrice-vettore

Caso particolare del Prodotto matriciale. Dati $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n},x\in {\mathbb{R}}^n$, il risultato $y=Ax\in {\mathbb{R}}^m$ è definito come

$$y_i=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k,i=1,...,m$$

La complessità computazionale equivale a $mn$, dato che servono $n$ somme e prodotti, e gli elementi sono $m$. Se la matrice è quadrata, la complessità è $n^2$.

Prodotto scalare tra due vettori

Dati due vettori $v,u\in {\mathbb{R}}^n$ si definisce prodotto scalare di $u$ e $v$ il numero $s$ dato da

$$s=u^{T}v=\sum _{k=1}^n{u}_k{v}_k$$