Autovalori

Sia $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. Un vettore $x\in {\mathbb{C}}^n,x\ne 0$ e uno scalare $\lambda \in \mathbb{C}$, si dicono rispettivamente autovettore e autovalore di $A$ se soddisfano

$$Ax=\lambda x$$

Il vettore $x$ si dice autovettore relativo all’autovalore $\lambda$.

Gli $n$ autovalori di $A$ sono le soluzioni dell’equazione che comprende il determinante $det(A-\lambda I)=0$, il cui termine sinistro prende il nome di polinomio caratteristico di $A$.

Proprietà

• $det(A)={\lambda }_1\times {\lambda }_2\times ...\times {\lambda }_n$
• una matrice è invertibile se tutti i suoi autovalori sono non nulli
• se $A$ è invertibile e $\lambda$ è un suo autovalore, allora $\frac{1}{\lambda }$ è autovalore di $A^{-1}$
• se $A$ è simmetrica, allora tutti i suoi autovalori sono reali