Bordo

Un bordo è un cambio drastico di luminosità, una discontinuità.

I bordi possono essere bordi effettivi di oggetti nell’immagine. Cambi drastici di luminosità, possono però esserci anche all’interno degli oggetti (cambi di illuminazione, cambi nell’orientamento della superficie ecc…).

• Bordi reali sono una funzione step leggermente blurrata.

• bordo ideale è una funzione step in una certa direzione

• La prima derivata di $I(x)$ ha un picco al bordo

• La derivata seconda di $I(x)$ ha uno zero crossing al bordo.

Le pendenze destra e sinistra del picco possono essere diverse. Per questo si fa una media.

La derivata di funzioni discrete si può calcolare in questa maniera:

Differenze finite

${\Delta }_{+}f(x)=f(x+1)-f(x)$ ${\Delta }_{-}f(x)=f(x)-f(x-1)$ $\Delta f(x)=\frac{1}{2}(f(x+1)-f(x-1))$

Gradiente

title: Definizione
**Gradiente**
Sia $f(x, y)$ funzione 2D. Il **gradiente** è il vettore la cui direzione è nella direzione di massimo cambiamento di $f$ e la cui grandezza è il massimo tasso di differenza di $f$.

Il gradiente è perpendicolare al bordo.

Operatori del bordo

Approssimare gradienti locali in una immagine è la base di molti operatori classici di rilevamento bordi.

Derivate di immagini sostituite da differenze finite: ${\Delta }_{x}f=f(x,y)-f(x-1,y)$ ${\Delta }_{y}f=f(x,y)-f(x,y-1)$

In alternativa si ha: ${\Delta }_{2x}f=f(x+1,y)-f(x-1,y)$ ${\Delta }_{2y}f=f(x,y+1)-f(x,y-1)$

Gradiente di Robert ${\Delta }_{+}f=f(x+1,y+1)-f(x,y)$ ${\Delta }_{-}f=f(x,y+1)-f(x+1,y)$

Operatori di bordo a differenze finite sono sensibili al rumore. Per questo si fa una media dei calcoli delle derivate dei pixel vicini.

Operatore di Sobel

La media del kernel è maggiore.

Rilevamento bordi basato su gradiente

1. Si calcolano le derivate dell’immagine tramite la convoluzione $D_x(u,v)=H_x\ast I$ and $D_y(u,v)=H_y\ast I$
2. Si calcola la grandezza del gradiente del bordo $E(u,v)=\sqrt{(D_x(u,v){)}^2+(D_y(u,v){)}^2}$
3. Si calcola la direzione del gradiente

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