Floating point

• Insieme dei numeri floating point
• Rappresentazione numeri reali fuori dall’intervallo

Per rappresentare numeri reali, si utilizza la rappresentazione floating point.

Fissata una base $\beta$, ogni numero reale $\alpha$ si può rappresentare in modo univoco nella forma $\alpha =\pm m{\beta }^r$, dove

• $m\in [0,1)$ mantissa di $\alpha$
• $r\in \mathbb{Z}$ esponente

$\alpha \in \mathbb{R}\iff \alpha =\pm (0.a_1{a}_2...a_t{a}_{t+1}...{)}_{\beta }{\beta }^r$ con $i$ possibilmente infinito, r qualsiasi numero intero.

Insieme dei numeri floating point

L’insieme dei numeri floating point si ottiene ponendo una limitazione al numero di cifre della mantissa e limiti inferiore (L) e superiore (U) per la scelta dell’esponente.

$$\begin{array}{rl}F(\beta ,t,L,U)& =\\ & \{\pm (0.a_1{a}_2{)}_{\beta }{\beta }^p:a_i\in \{0,...,\beta -1\},\\ & \forall i=1,...,t,a_1\ne 0,r\in \mathbb{Z},L\le r\le U\}\end{array}$$

È un insieme finito di numeri reali. È simmetrico rispetto all’origine e la cardinalità è data da $2(\beta -1){\beta }^{t-1}(U-L+1)$ che è la somma di tutte le possibili combinazioni di mantissa e esponente.

Il numero più grande dell’insieme è $(\mathrm{1.1...1}{)}_2{2}^U=(2-2^{1-t})2^U$. Il numero più piccolo dell’insieme è $(\mathrm{1.0...0}{)}_2{2}^L=2^L$.

Standard IEEE 754

	precisione singola	precisione doppia
bit totali	32	62
segno	1 bit	1 bit
t-1	23 bit	52 bit
l	8 bit	11 bit
bias	127	1023
U	127	1023
L	-126	-1022

L’esponente è composto da $p+bias$.

Rappresentazione numeri reali fuori dall’intervallo

Un numero non appartenente all’intervallo può essere rappresentato per ==troncamento o per arrotondamento==.

$2.25=(1.001)\ast 2^1$

• troncamento: $1.00\ast 2^1$
• arrotondamento: $1.01\ast 2^1$