Matrici

A = a_{11} a_{21} ... a_{m 1} a_{12} a_{22} a_{m 2} a_{13} a_{23} a_{m 3} ... ... ... a_{1 n} a_{2 n} a_{mn} \in R^{m \times n}

Vettore riga

R = (a_{11} a_{12} ... a_{1 n})

Se $m = 1$ , si ha un vettore riga di $n$ componenti.

C = a_{11} a_{21} ... a_{m 1}

Se $n = 1$ , si ha un vettore colonna di $m$ componenti. $R^{n}$ è lo spazio dei vettori colonna di $n$ componenti.

La trasposta di una matrice $A \in R^{m \times n}$ è la matrice $R^{n \times m}$ , che si indica con $A^{T}$ e viene definita come

A^{T} = T = a_{11} a_{12} ... a_{1 n} a_{21} a_{22} a_{2 n} a_{31} a_{32} a_{3 n} ... ... ... a_{n 1} a_{n 2} a_{mn}

Q = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33}

Le matrici quadrate si hanno quando $m = n$ , ed ha ordine (o dimensione $n$ ).

Una matrice quadrata di ordine $n$ si dice simmetrica se $A = A^{T}$ . In questo caso $a_{ij} = a_{ji}, i = 1, ..., n$ .

Una matrice quadrata di ordine $n$ si dice diagonale se $d_{ij} = 0$ per $i \neq = j$ .

I = d_{11} 0 ... 0 0 d_{22} 0 000 ... ... ... 00 d_{nn}

Una matrice diagonale speciale è la matrice identità, che ha tutti gli elementi sulla diagonale pari a 1, ( $a_{ii} = 1$ ). Prende il nome di $I$ .

I = 10 ... 0 010000 ... ... ... 001

Una matrice quadrata $U$ di ordine $n$ si dice triangolare superiore se $u_{ij} = 0$ per $i > j$ .

U = u_{11} 0 ... 0 u_{12} u_{22} 0 u_{13} u_{23} 0 ... ... ... u_{1 n} u_{2 n} u_{nn}

Si dice invece triangolare inferiore se $u_{ij} = 0$ per $i < j$ .

L = l_{11} l_{21} ... l_{n 1} 0 l_{22} l_{n 2} 00 l_{n 3} ... ... ... 00 l_{nn}

$A A^{T} = A^{T} A = I$

Esempio:

A A^{T} = = \frac{1}{3} \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{1}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} \frac{2}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} - \frac{2}{9} \frac{2}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9} \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} - \frac{2}{9} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = 100010001