Analisi degli errori

• Errore inerente
• Errore algoritmico
• Condizionamento

Attenzione

I dati di input sono affetti da errore di rappresentazione, sono dunque dati perturbati, così come i risultati di ogni singola operazione. Ogni risultato intermedio può essere soggetto a questo tipo di errori, e può influenzare tutte le operazioni successive, propagando così gli errori.

Errore inerente

Errore inerente

Errore che si commetterebbe se le operazioni fossero eseguite in aritmetica esatta. È l’errore che non deriva dal calcolo, ma dai dati. Esiste quindi prima che qualsiasi operazione di calcolo venga eseguita.

Errore algoritmico

Errore algoritmico

Errore che si commetterebbe se i dati fossero rappresentati esattamente, ma le operazioni fossero eseguite in precisione finita.

Condizionamento

Lega i dati alle soluzioni, ma senza tenere conto di come siano state calcolate.

Condizionamento di un problema

Un problema si dice ben condizionato, se a piccole perturbazioni dei dati, corrispondono piccole perturbazioni delle soluzioni. Un problema si dice mal condizionato, se a piccole perturbazioni dei dati, corrispondono non tanto piccole perturbazioni delle soluzioni.

Esempio: La soluzione dell’equazione: $x^2-4x+c=0$ è $x_{1,2}=2\pm \sqrt{4-c}$. Con $c=4$, si ha un risultato di $\alpha =2$.

Perturbando $c\ast =4-10^{-6}$, si ha un risultato di $\alpha \ast =2-10^{-3}$.

Calcolando quindi gli errori: $\frac{c-c\ast }{c}=-\frac{1}{4}10^{-6}$ $\frac{\alpha -\alpha \ast }{\alpha }=-\frac{1}{2}10^{-3}$

Da questi dati si può evincere che il problema è mal condizionato, dal momento che c’è una differenza di 3 ordini di grandezza.