Ottica

Un sistema ottico trasmette informazioni su:

• intensità di luce
• colore
• forme di uno spazio chiamato spazio immagine.

Propagazione della luce

La luce è un’onda elettromagnetica nella porzione di spettro nel visibile, che si propaga nello spazio e interagisce con gli oggetti circostanti. La luce si propaga come una sfera, con una curvatura che decresce man mano che ci si allontana dall’origine.

Leggi di geometria per sistemi ottici

1. La luce nei mezzi omogenei si propaga sempre in maniera rettilinea
2. Due raggi di luce che si incrociano non si influenzano
3. Leggi di riflessione
4. Leggi di rifrazione

Legge di Snell

Quando la luce passa tra due mezzi trasparenti diversi, cambia il suo comportamento, a seconda della rifrazione del mezzo. L’indice di rifrazione ($n$) di un mezzo si definisce come il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto ($c_0$) e la velocità della luce nel mezzo stesso ($c$) (sempre > 1). $n=\frac{c_0}{c}$

Quando un raggio passa da un mezzo ad un altro, una parte viene riflessa con un angolo uguale ed opposto a quello di incidenza. L’altra parte viene diffusa nel mezzo con un angolo (definito dalla Legge di Snell) che dipende dalle proprietà dei due mezzi.

Legge di riflessione ${\alpha }_i=-{\alpha }_r$

Legge di rifrazione $\frac{\sin {\theta }_2}{\sin {\theta }_1}=\frac{n_1}{n_2}\Rightarrow n_1\cdot \sin {\theta }_1=n_2\cdot \sin {\theta }_2$ Approssimazione parassiale Se la luce arriva da lontano, ed ha quindi un angolo di incidenza che tende ad essere perpendicolare alla superficie, allora si può approssimare a $n_1{\alpha }_1=n_2{\alpha }_2$. Perché $\sin \alpha =\alpha -\frac{{\alpha }^3}{3!}+\frac{{\alpha }^5}{5!}-\dots$

Lente sottile

Nell’approssimazione di lente sottile, si suppone che lo spessore della lente sia minore del raggio di curvatura delal superficie della lente stessa ⇒ si possono ignorare alcuni difetti dati dallo spessore della lente e semplifica il tracciamento del percorso dei raggi.

Equazione della lente

$\frac{1}{s^{\prime }}+\frac{1}{s}=\frac{1}{f}$

• Working distance $s$, distanza tra lente e piano di messa a fuoco
• Back focal distance $s^{\prime }$, distanza tra lente e piano in cui si forma l’immagine
• Focal length $f$, lunghezza focale del sistema, misura assoluta.

Lunghezza focale

In sistemi a lente sottile è la distanza a cui dei raggi perpendicolari che arrivano dall’infinito convergono sull’asse ottico.

Se i raggi convergono la lente si dice positiva, altrimenti si dice negativa. Le ottiche per sistemi di visione industriale sono solitamente positive, e sono classificate in base alla lunghezza focale espressa in millimetri (25mm).

Al variare della lunghezza focale, variano anche:

• campo inquadrato
• distanza di lavoro
• angolo di apertura dei raggi

Più la lunghezza focale è alta, meno area vedo (più zoom).

Ingrandimento - Magnification

Rapporto tra il segnale di ingresso e quello di uscita del sistema.

Segnale di ingresso: grandezza del sensore Segnale in uscita: area inquadrata

$M=\frac{\text{Image height}}{\text{Object height}}=\frac{h^{\prime }}{h}$ Da qui si possono legare la distanza di lavoro, la lunghezza focale e l’ingrandimento. $s=\frac{f(1-M)}{M}$

L’ingrandimento è il campo inquadrato (Field of View), ovvero l’area che è possibile osservare con un’ottica una volta fissato il sensore.

Conoscendo la dimensione del sensore e l’ingrandimento della lente, si può calcolare l’area inquadrata dal sistema ottivo.

Con un sensore di dimensioni 8.446 x 7.066mm^2, e un ingrandimento di 0.243, l'area inquadrata è:
$FoV_x = \frac{\text{sensore}_x}{\text{magnification}}=\frac{8.446}{0.243}=34.76[mm]$
$FoV_y = \frac{\text{sensore}_y}{\text{magnification}}=\frac{7.066}{0.243}=29.08[mm]$

Calcolo magnification

Conoscendo invece la dimensione del sensore, e l’area da inquadrare, si può invece calcolare l’ingrandimento necessario. Avendo un sensore da 2448x2048 pixel con ogni pixel di dimensione 3.45um, si ha $sensor{e}_x=pixe{l}_x\times pixelsize=2448\times 3.45=8.446[mm]$ $sensor{e}_y=pixe{l}_y\times pixelsize=2048\times 3.45=7.066[mm]$

Per inquadrare un’area di 50x50mm, si ha: $magnificatio{n}_x=\frac{sensor{e}_x}{are{a}_x}=\frac{8.446}{50}=0.169$ $magnificatio{n}_y=\frac{sensor{e}_y}{are{a}_y}=\frac{7.066}{50}=0.141$ In questo caso i due ingrandimenti sono diversi, ma una lente ne ha solo uno. Si sceglie quello minore, così sono sicuro che in quello maggiore, sicuramente c’è l’area che mi serve.

F-number

I sistemi ottici sono caratterizzati da uno stop, ovvero un foro nel sistema ottico, che definisce la quantità di luce che entra in un sistema. È valido però solo per ottiche con la stessa lunghezza focale. Per confrontare ottiche con lunghezze focali differenti, bisogna calcolare F#, come rapporto tra lunghezza focale della lente (f) e il diametro dello stop (d). $F\#=\frac{f}{d}$

F# è la cotangente di metà dell’angolo del cono di raggi che incide sul sensore. Se F# aumenta, l’angolo diminuisce e quindi ci sarà meno luce nel sistema e viceversa.

Più F# è alto, più la qualità dell’immagine è bassa. Alzando F#, tra l’altro, serve anche un tempo maggiore per scattare la foto, perché il buco è piccolo.

F-Number funziona bene per ingrandimenti bassi. Quando l’ingrandimento diventa non trascurabile, si tende ad usare una grandezza diversa.

Working F-Number

$WF\#=(1+M)\times F\#$ Maggiore è l’ingrandimento, maggiore è la discrepanza tra i due valori.

Profondità di campo

Legata a F#. È il range tra la distanza di lavoro minima in cui considero un punto nello spazio a fuoco e quella massima.

$DoF=W{D}_{max}-W{D}_{min}$

I sistemi ottici funzionano a piani coniugati tra loro, ovvero che ad un piano lato immagine corrisponde un piano lato oggetto. Tramite la DoF cerco di far corrispondere ad un piano lato immagine una serie di piani lato oggetto.

Diffrazione

Conseguenza fisica della natura di onda della luce. Quando la luce attraversa un’apertura crea un’interferenza che modifica l’intensità della luce del fronte d’onda.

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