Norme vettoriali

Norma vettoriale

La funzione $||\bullet ||:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ è una norma vettoriale se soddisfa:

• $||x||\ge 0,\forall x\in {\mathbb{R}}^n$ e $||x||=0$ se e solo se $x=0$
• $||\lambda x||=|\lambda |||x||,\forall x\in {\mathbb{R}}^n,\lambda \in \mathbb{R}$
• proprietà triangolare $||x+y||\le ||x||+||y||,\forall x,y\in {\mathbb{R}}^n$

Di base ad ogni vettore viene associato un numero che esprime la sua misura tenendo conto di tutte le sue componenti. Serve principalmente a confrontare i vettori tra di loro.

Le norme vettoriali sono equivalenti, ovvero prese due norme qualsiasi $||\bullet |{|}_{\ast },||\bullet |{|}_{\bullet }$, con $\ast ,\bullet \in \{\infty ,1,2\}$, esistono due costanti positive $m,M$ tali che $m||x|{|}_{\ast }\le ||x|{|}_{\bullet }\le M||x|{|}_{\ast },\forall x\in {\mathbb{R}}^n$

Norma infinito

$||x|{|}_{\infty }={\max }_{i=1,...,n}|x_i|$

Norma 1

$||x|{|}_1={\sum }_{i=1}^n|x_i|$

Norma 2

Nota anche come norma Euclidea $||x|{|}_2=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}$ Vale l’uguaglianza: $||x|{|}_2^2=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=x^{T}x$