Indice di condizionamento di una matrice

Condizionamento della matrice

$\frac{||\tilde{x}-x\ast ||}{||x\ast ||}=\frac{||A^{-1}\Delta b||}{||x\ast ||}\le k(A)\frac{||\Delta b||}{||b||}$

Come ipotesi si ha: $Ax\ast =b$ e $A\tilde{x}=b+\Delta b$ con ($b\ne 0$)

Osservazione 1

$$A\tilde{x}=Ax\ast +\Delta b\iff A(\tilde{x}-x\ast )=\Delta b\iff (\tilde{x}-x\ast )=A^{-1}\Delta b$$

Osservazione 2

$$b=Ax\ast \Rightarrow ||b||=||Ax\ast ||\Rightarrow ||b||\le ||A||\bullet ||x\ast ||\Rightarrow \frac{1}{||x\ast ||}\le \frac{||A||}{||b||}$$

Quindi si ha

\begin{split} \frac{||\tilde x-x*||}{||x*||}&=&\frac{||A^{-1}\Delta b||}{||x*||}\\ &\le& \frac1{||x*||}||A^{-1}||\bullet||\Delta b||\\ &\le& ||A||\bullet||A^{-1}||\frac{||\Delta b||}{||b||}\\ \end{split}

dove il valore $k(A)=||A||\bullet ||A^{-1}||$ viene detto numero di condizionamento della matrice $A$.

Proprietà

Si è dimostrato come $\frac{||\tilde{x}-x\ast ||}{||x\ast ||}=\frac{||A^{-1}\Delta b||}{||x\ast ||}\le k(A)\frac{||\Delta b||}{||b||}$. Al posto di $\le$, però, si può utilizzare $\simeq$, dal momento che se $k(A)\simeq 1$, allora ogni sistema con A come matrice dei coefficienti è ben condizionato. Se $k(A)>>1$, allora è mal condizionato.

• il numero di condizionamento di $A$ agisce come fattore di amplificazione tra errore sui dati e errore sulle soluzioni
• per ogni matrice non singolare $A$ si ha: $1=||I||=||A{A}^{-1}||\le ||A||•||A^{-1}||=k(A)$