Fattorizzazione QR

Fattorizzazione QR

Sia A una matrice di dimensioni n non singolare. Esistono quindi una matrice ortogonale $Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ e una matrice triangolare superiore non singolare $R\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ tali che $A=QR$

Fattorizzazione

Esistono diversi algoritmi per la fattorizzazione QR:

• trasformazioni elementari di Householder
• pavimentazione

Householder

La fattorizzazione QR con le Trasformazioni di Householder.

$a_k$ è la colonna k della matrice A, scritta a blocchi come:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& ...& a_n\end{array}\right)$$

$U_1$ è la trasformazione elementare di Householder associata al vettore $v_1=a_1+{\sigma }_1{e}_1$, con ${\sigma }_1=||a_1||$, e $e_1$ prima colonna di $I$.

$$A_2=U_{1}A=(U_1{a}_1{U}_1{a}_2...U_1{a}_n)=\left(\begin{array}{cccc}-{\sigma }_1& a_{12}^{(2)}& ...& a_{1n}^{(2)}\\ 0& a_{22}^{(2)}& ...& a_{2n}^{(2)}\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& a_{n2}^{(2)}& ...& a_{nn}^{(2)}\end{array}\right)$$

dove

$$U_1{a}_k=\left(\begin{array}{c}{a}_{1k}^{(2)}\\ a_{2k}^{(2)}\\ ...\\ a_{nk}^{(2)}\end{array}\right)$$