Determinante

Il determinante di una matrice $A$ è un numero che si denota con $det(A)$ che si può definire in modo ricorsivo con:

$$det(A)=\{\begin{array}{ll}{a}_{11}& \text{se}n=1\\ {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}det(A_{ij})& \text{se }n>1\end{array}$$

con $i$ un qualsiasi indice $i\in \{1,...,n\}$. $A_{ij}$ è la matrice di ordine $n-1$ che si ottiene eliminando la riga $i$ e la colonna $j$ di $A$.

La complessità computazionale del determinante è di $n!$.

Proprietà

• $det(A)=det(A^T)$
• $det(AB)=det(A)det(B)$
• $det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$
• $det(\lambda A)={\lambda }^{n}det(A)$
• Se B è una matrice ottenuta scambiando due righe o due colonne di A, allora $det(B)=-det(A)$