Per i sistemi facili si implementano algoritmi diretti, quindi con un numero finito di passi.
Algoritmi di sostituzione
Gli algoritmi di sostituzione sono i più semplici e quelli che si imparano a scuola.
Stabilità algoritmi di sostituzione
Come diventano instabili
Gli algoritmi di sostituzione possono diventare instabili quando gli elementi del triangolo sono molto grandi rispetto agli elementi diagonali.
Esempio
l_{11} & 0 \ l_{21} & l_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix}Si indica con $x*=(x_1*, x_2*)^T$ la soluzione esatta, e con $\tilde x=(\tilde x_1, \tilde x_2)^T$ la soluzione calcolata in aritmetica finita. \tilde x_i = fl(b_1/l_{11})=\frac{b_1}{l_{11}}(1+\epsilon_1)=x_1*(1+\epsilon_1)con $|\epsilon_1|\le u$. Si presuppone che al secondo passaggio non vengano introdotti altri errori:\begin{split}\tilde x_2 = & \frac{b_2-l_{21\tilde x_1}}{l_{22}} \ = & \frac{b_2-l_{21}x_1*(1+\epsilon_1)}{l_{22}} \ = & \frac{b_2-x_1*}l_{22}+\frac{l_{21}x_1*}l_{22}\epsilon_1 \ = & x_2*+\frac{l_{21}x_1*}l_{22}\epsilon_1\end{split}$$
Sistemi diagonali
Il sistema in forma esplicita è:
Sistemi triangolari
Ci sono due metodi per risolvere i sistemi triangolari, ovvero il sistema di sostituzione all’avanti e quello all’indietro.
Sistema triangolare superiore
Per le matrici triangolari superiori si utilizza il metodo della sostituzione all’indietro.
Sistema triangolare inferiore
Per una matrice triangolare inferiore, invece, si applica il metodo della sostituzione in avanti.
Per entrambi gli algoritmi, al passo si calcolano j somme, j-1 prodotti e un quoziente.