Fattorizzazione matrici simmetriche

$$A=LD{L}^T$$

Per le matrici simmetriche, si può salvare spazio nella memorizzazione. Si può infatti utilizzare la metà dello spazio, perchè una matrice simmetrica si può memorizzare in circa $\frac{n^2}{2}$ locazioni di memoria.

Teorema

$A$ matrice simmetrica con tutti i minori principali diversi da zero. Esiste quindi una matrice $L$ triangolare inferiore con diagonale unitaria e una matrice diagonale $D$ con elementi diagonali diversi da zero tali che $A=LD{L}^T$

Dimostrazione

Dalle ipotesi si ha $A=LU$ con $U$ non singolare e $L$ con diagonale unitaria.

$$D=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{11}& & \\ & ...& \\ & & u_{nn}\end{array}\right)\Rightarrow A=LD\underset{R}{\underbrace{D^{-1}U}}$$

$D$ è la diagonale di $U$. La matrice $R$ è triangolare superiore e ha diagonale unitaria. Quindi $R=L^T$. Dalla simmetria di $A$ si ha che (ricordarsi che $D=D^T$) $LDR=(LDR{)}^T=R^{T}D{L}^T\Rightarrow DR{L}^{-T}=L^{-1}{R}^{T}D$ Si ha quindi che $R{L}^{-T}$ ha diagonale unitaria, e che $R{L}^{-T}=I\Rightarrow R=L^T$

Quindi, ricapitolando,

$$a_{ij}=d_{jj}{l}_{ij}+\sum _{k=1}^{i-1}{l}_{ik}{d}_{kk}{l}_{jk},j=1,...,n,i=j,...,n$$

Al passo $j$ sono già stati calcolati gli elementi $d_{kk},l_{ik}$ per $k=1,...,j-1$ e $i=k+1,...,n$.