Norme matriciali

Norma matriciale

Similmente alle norme vettoriali, la funzione $||\bullet ||:{\mathbb{R}}^{n\times n}\to \mathbb{R}$ è una norma matriciale se soddisfa:

• $||A||\ge 0,\forall A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, e $||A||=0$ se e solo se $A=0$
• $||\lambda A||=|\lambda |||A||,\forall A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},\lambda \in \mathbb{R}$
• proprietà triangolare $||A+B||\le ||A||+||B||,\forall A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$

Norme matriciali indotte

Partendo da una norma vettoriale $||\bullet ||$, si può definire una norma matriciale indotta come segue: $||A||={\sup }_{a\in {\mathbb{R}}^n,x\ne 0}\frac{||Ax||}{||x||}$

Si possono quindi dimostrare le norme matriciali $\infty ,1,2$.

Norma infinito

$||A|{|}_{\infty }={\max }_{i=1,...,n}{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$

Norma 1

$||A|{|}_1={\max }_{j=1,...,n}{\sum }_{i=1}^n|a_{ij}|$

Norma 2

$||A|{|}_2=\sqrt{\rho (A^{T}A)}$

Proprietà

$\bullet \in \{\infty ,1,2\}$

Proprietà submoltiplicativa

Siano $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, si ha $||AB|{|}_{\bullet }\le ||A|{|}_{\bullet }||B|{|}_{\bullet }$

Compatibilità con le norme vettoriali

Siano $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},x\in {\mathbb{R}}^n$, si ha

$$||Ax|{|}_{\bullet }\le ||A|{|}_{\bullet }||x|{|}_{\bullet }$$